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九章算術卷第四 少廣

作者:国学智 栏目:九章算术 时间:2014-08-21 点击:

  少廣術曰:置全步及分母子,以最下分母遍乘諸分子及全步,各以其母除其子,置之於左。命通分者,又以分母遍乘諸分子,及已通者皆通而同之,并之為法。置所求步數,以全步積分乘之為實。實如法而一,得從步。

  〔一〕今有田廣一步半。求田一畝,問從幾何?

  荅曰:一百六十步。

  術曰:下有半,是二分之一。以一為二,半為一,并之得三,為法。置田二百四十步,亦以一為二乘之,為實。實如法得從步。

  〔二〕今有田廣一步半、三分步之一。求田一畝,問從幾何?

  荅曰:一百三十步、一十一分步之一十。

  術曰:下有三分,以一為六,半為三,三分之一為二,并之得一十一為法。置田二百四十步,亦以一為六乘之,為實。實如法得從步。

  〔三〕今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一。求田一畝,問從幾何?  荅曰:一百一十五步、五分步之一。

  術曰:下有四分,以一為一十二,半為六,三分之一為四,四分之一為三,并之得二十五,以為法。置田二百四十步,亦以一為一十二乘之,為實。實如法而一,得從步。

  〔四〕今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一。求田一畝,問從幾何?

  荅曰:一百五步、一百三十七分步之一十五。

  術曰:下有五分,以一為六十,半為三十,三分之一為二十,四分之一為一十五,五分之一為一十二,并之得一百三十七,以為法。置田二百四十步,亦以一為六十乘之,為實。實如法得從步。

  〔五〕今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一。求田一畝,問從幾何?  荅曰:九十七步、四十九分步之四十七。

  術曰:下有六分,以一為一百二十,半為六十,三分之一為四十,四分之一為三十,五分之一為二十四,六分之一為二十,并之得二百九十四以為法。置田二百四十步,亦以一為一百二十乘之,為實。實如法得從步。

  〔六〕今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一。求田一畝,問從幾何?

  荅曰:九十二步、一百二十一分步之六十八。

  術曰:下有七分,以一為四百二十,半為二百一十,三分之一為一百四十,四分之一為一百五,五分之一為八十四,六分之一為七十,七分之一為六十,并之得一千八十九,以為法。置田二百四十步,亦以一為四百二十乘之,為實。實如法得從步。

  〔七〕今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一。求田一畝,問從幾何?

  荅曰:八十八步、七百六十一分步之二百三十二。

  術曰:下有八分,以一為八百四十,半為四百二十,三分之一為二百八十,四分之一為二百一十,五分之一為一百六十八,六分之一為一百四十,七分之一為一百二十,八分之一為一百五,并之得二千二百八十三,以為法。置田二百四十步,亦以一為八百四十乘之,為實。實如法得從步。

  〔八〕今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一。求田一畝,問從幾何?

  荅曰:八十四步、七千一百二十九分步之五千九百六十四。

  術曰:下有九分,以一為二千五百二十,半為一千二百六十,三分之一為八百四十,四分之一為六百三十,五分之一為五百四,六分之一為四百二十,七分之一為三百六十,八分之一為三百一十五,九分之一為二百八十,并之得七千一百二十九,以為法。置田二百四十步,亦以一為二千五百二十乘之,為實。實如法得從步。

  〔九〕今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一。求田一畝,問從幾何?

  荅曰:八十一步、七千三百八十一分步之六千九百三十九。

  術曰:下有一十分,以一為二千五百二十,半為一千二百六十,三分之一為八百四十,四分之一為六百三十,五分之一為五百四,六分之一為四百二十,七分之一為三百六十,八分之一為三百一十五,九分之一為二百八十,十分之一為二百五十二,并之得七千三百八十一,以為法。置田二百四十步,亦以一為二千五百二十乘之,為實。實如法得從步。

  〔一0〕今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一。求田一畝,問從幾何?

  荅曰:七十九步、八萬三千七百一十一分步之三萬九千六百三十一。

  術曰:下有一十一分,以一為二萬七千七百二十,半為一萬三千八百六十,三分之一為九千二百四十,四分之一為六千九百三十,五分之一為五千五百四十四,六分之一為四千六百二十,七分之一為三千九百六十,八分之一為三千四百六十五,九分之一為三千八十,一十分之一為二千七百七十二,一十一分之一為二千五百二十,并之得八萬三千七百一十一,以為法。置田二百四十步,亦以一為二萬七千七百二十乘之,為實。實如法得從步。

  〔一一〕今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一、十二分步之一。求田一畝,問從幾何?

  荅曰:七十七步、八萬六千二十一分步之二萬九千一百八十三。

  術曰:下有一十二分,以一為八萬三千一百六十,半為四萬一千五百八十,三分之一為二萬七千七百二十,四分之一為二萬七百九十,五分之一為一萬六千六百三十二,六分之一為一萬三千八百六十,七分之一為一萬一千八百八十,八分之一為一萬三百九十五,九分之一為九千二百四十,一十分之一為八千三百一十六,十一分之一為七千五百六十,十二分之一為六千九百三十,并之得二十五萬八千六十三,以為法。置田二百四十步,亦以一為八萬三千一百六十乘之,為實。實如法得從步。

  〔一二〕今有積五萬五千二百二十五步。問為方幾何?

  荅曰:二百三十五步。

  〔一三〕又有積二萬五千二百八十一步。問為方幾何?

  荅曰:一百五十九步。

  〔一四〕又有積七萬一千八百二十四步。問為方幾何?

  荅曰:二百六十八步。  〔一五〕又有積五十六萬四千七百五十二步、四分步之一。問為方幾何?

  荅曰:七百五十一步半。

  〔一六〕又有積三十九億七千二百一十五萬六百二十五步。問為方幾何?  荅曰:六萬三千二十五步。

  開方術曰:置積為實。借一算步之,超一等。議所得,以一乘所借一算為法,而以除。除已,倍法為定法。其復除。折法而下。復置借算步之如初,以復議一乘之,所得副,以加定法,以除。以所得副從定法。復除折下如前。若開之不盡者為不可開,當以面命之。若實有分者,通分內子為定實。乃開之,訖,開其母報除。若母不可開者,又以母乘定實,乃開之,訖,令如母而一。

  〔一七〕今有積一千五百一十八步、四分步之三。問為圓周幾何?

  荅曰:一百三十五步。

  〔一八〕今有積三百步。問為圓周幾何?

  荅曰:六十步。

  開圓術曰:置積步數,以十二乘之,以開方除之,即得周。

  〔一九〕今有積一百八十六萬八百六十七尺。問為立方幾何?  荅曰:一百二十三尺。

  〔二0〕今有積一千九百五十三尺、八分尺之一。問為立方幾何?

  荅曰:一十二尺半。

  〔二一〕今有積六萬三千四百一尺、五百一十二分尺之四百四十七。問為立方幾何?

  荅曰:三十九尺、八分尺之七。

  〔二二〕又有積一百九十三萬七千五百四十一尺、二十七分尺之一十七。問為立方幾何?

  荅曰:一百二十四尺、太半尺。

  開立方術曰:置積為實。借一算步之,超二等。議所得,以再乘所借一算為法,而除之。除已,三之為定法。復除,折而下。以三乘所得數置中行。復借一算置下行。步之,中超一,下超二等。復置議,以一乘中,再乘下,皆副以加定法。以定法除。除已,倍下、并中從定法。復除,折下如前。開之不盡者,亦為不可開。若積有分者,通分內子為定實。定實乃開之,訖,開其母以報除。若母不可開者,又以母再乘定實,乃開之。訖,令如母而一。

  〔二三〕今有積四千五百尺。問為立圓徑幾何?  荅曰:二十尺。

  〔二四〕又有積一萬六千四百四十八億六千六百四十三萬七千五百尺。問為立圓徑幾何?

  荅曰:一萬四千三百尺。

  開立圓術曰:置積尺數,以十六乘之,九而一,所得開立方除之,即丸徑。

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